movimientos verticales bajo la acción de la gravedad… algunos ejercicios: 13, 14

Publicado: agosto 25, 2010 de profe pelo verde tortilla y quejona en biofísica, cinemàtica

hola!

primero, un par de nociones básicas (pregs 10 y 11, pag 11 del libro de ejercicios), y más abajo los ejercicios mencionados, ¡busquenlos!

El movimiento vertical de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, sea subida, descenso, subida y bajada, es un movimiento con aceleración constante (la aceleración de la gravedad, “g”) de dirección vertical y dirigida (sentido) hacia el centro de la tierra: Por lo tanto el movimiento es un MRUV

OJO! el movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, cuando el movimiento no es vertical, no es MRUV. Se trata de lo que se conoce como “tiro oblicuo”. En este caso, si solamente analizamos la proyección vertical del movimiento, también es un MRUV, con aceleración g.

La aceleración de la gravedad, g, es la aceleración de cualquier cuerpo que se mueve libremente en el aire. Cerca de la superficie terrestre (o del astro cuya aceleración gravitatoria estemos considerando) la aceleración gravitatoria es (con muy buena aproximación) constante. La aceleración gravitatoria está asociada a la atracción gravitatoria entre la tierra (o astro) y el objeto que se mueve con aceleración g.

Más preguntas
¿Cualquier cuerpo que se mueva en el aire lo hace con aceleración constante g?
NO. PARA QUE LA ACELERACIÓN SEA G, LA RESISTENCIA DEL AIRE AL MOVIMIENTO DEL CUERPO DEBE SER DESPRECIABLE.
CONTRARIAMENTE A LO QUE SE DICE MÁS ARRIBA, LA ACELERACIÓN GRAVITATORIA NO ES CONSTANTE, SINO QUE DISMINUYE CUANTO MÁS LEJOS ESTÁ EL CUERPO DEL CENTRO DE LA TIERRA. Es decir, si estudiamos dos cuerpos a nivel del mar, uno en el ecuador y otro en el polo sur, la aceleración gravitatoria que experimenta cada uno será diferente, porque la tierra no es esférica. La distacia del centro de la tierra al polo sur es algo menor que la distancia del centro al ecuador, por lo que g será algo mayor en el polo.
Otro ejemplo: el valor de la aceleraciòn gravitatoria en una ciudad que se encuentre muy elevada respecto al nivel del mar (podría ser Salta) es algo menor que en una ciudad que está a nivel del mar (como Mar del Plata). Nuevamente, la distancia de Salta al centro de la tierra es algo mayor que la distancia de Mar del Plata a ese punto.

¿ENTONCES, LO QUE LES DIJE EN CLASE ES MENTIRA?
mmm, ni verdad ni mentira, esas no son palabras adecuadas para la física. Es mejor decir que “aceleración gravitatoria constante” es una aproximación válida cuando los cuerpos no están muy distantes de la superficie terrestre. El radio terrestre (valor medio) es de aproximadamente 3.600 km, por lo tanto una variación de unos pocos km en la distancia al centro de la tierra hace que el valor de g prácticamente no cambie.

EJERCICIO 13 de la página 18

Un piano cae partiendo del reposo desde una altura de 25 m respecto del piso.

a) ¿cuánto tiempo tarda en llegar al piso?

Elijo un eje para medir las posiciones vertical (porque el movimiento es vertical!), con origen en el piso y dirigido hacia arriba. Respecto al tiempo, enciendo el cronómetro en el momento en que el piano comienza a caer y se encuentra exactamente a 25 m del piso.

Es decir, en lenguaje matemático
yo = 25 m; to = 0 seg; vo = 0 m/s

Como el eje coordenado elegido es creciente hacia arriba, la aceleración gravitatoria tendrá signo negativo en este sistema de referencia

g = -10 m/s2

La ecuación horaria para CUALQUIER movimiento vertical bajo la acción de la gravedad, usando el sistema de referencia indicado tiene la forma

y = yo + v0 (t -t0) + 1/2 a (t – t0)^2
(ECUACIÓN 1)

En este caso, va a quedar:

y = 25 m + 1/2 (-10 m/s^2)
(ECUACIÓN 2)
Para saber cuándo llega al piso, remplazo en esta ecuación la “variable de posición y” por el valor que esta toma exactamente en el piso: y(piso) = 0 y despejo t para esta situación

0 = 25 – 5 t^2

t = raíz cuadrada (5)

Noten que aquí solamente eligo como respuesta el valor positivo de la raíz cuadrada. ¿por qué? Porque el valor negativo representaría un suceso ocurrido antes de t = 0, es decir ¡antes de que el piano comenzara a caer!. Ese “antes” no tiene sentido físico, al menos en lo que se refiere a la caída del piano.

b) ¿A qué altura del piso se halla a los dos segundos de la partida?

Para responder, vuelvo a usar la ecuación horaria del movimiento (ECUACIÓN 2), esta vez, cambiando la variable t por el valor que indica la pregunta: t = 2 seg. Queda entonces por despejar la posición del móvil, que es lo que pide este ítem.

y = 25 m – 5 m/s^2 (2 s)^2 =5 m

Atenti!!! si quisiéramos saber qué distancia cayó en 5 segundos, la respuesta sería 20 m ¿Por qué? (desafío)

c) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?

Es necesario escribir la ecuación horaria de la velocidad. Para cualquier movimiento vertical bajo la acción gravitatoria, esta ecuación tiene la forma:

v = vo + g (t – t0)
(ECUACIÓN 3)

En el caso del piano, como parte del reposo y uso un cronómetro puesto a cero cuando comienza la caída

v = – 10 m/s^2 t
(ECUACIÓN 4)

Para conocer la velocidad del piano a los 2 seg, reemplazo la variable t por este dato numérico. El resultado es

v = – 20 m/s

El signo es negativo respecto al sistema de referencia elegido porque el piano se mueve hacia abajo.

d) LOS GRÁFICOS SE LOS DEBO

e) ¿Con qué velocidad, como minimo, debería ser lanzado desde el piso hacia arriba para llegar otra vez hasta una altura de 25 m?

Bueno, me imagino que nadie pensará en lanzar un piano para arriba, y si hay que subirlo mejor usar grúa, roldana o ascensor. Pero vamos que la pregunta vale para cualquier cuerpo, y no solo para el piano.

El desafío ahora calcular vo, con el cuerpo lanzado desde el piso (y0), para que la altura máxima alcanzada sea 25m. Creo que es “intuitivo” que, a mayor velocidad de lanzamiento, mayor será la altura máxima alcanzada Entonces, considerando los 25 m calcularemos la mínima velocidad para lograr el objetivo.

Usando la ECUACIÓN 1 con los datos para la nueva situación

t0 = 0, y0 = 0, v0 = ¿?
la (1) queda

y = vo t – 5 m/s^2 t^2

Como hay que buscar v0 para que ymax sea 25 m, intento reemplazar y por este valor:

25 m= vo t – 5 m/s^2 t^2
(ECUACIÓN 5)
que tiene dos incógnitas: vo y t.
Es decir, está faltando alguna información, escrita en forma de ecuación en la que aparezcan estas incógnitas.
La condición de altura máxima en un movimiento vertical bajo la acción de la gravedad corresponde al instante en que la velocidad se anula, es decir justo cuanto “deja de subir” y “empieza a bajar”.

Es decir, la ecuación de velocidad (ECUACIÓN 3) en este caso, quedaría

0 = vo – 10 m/s^2 t

donde t es, en este caso, el instante en que se alcanza la máxima altura. Si despejo t de la ecuación de más arriba, llego a

t = v0 / (10 m/s^2).

Este “despeje” para t, puedo usarlo en la ecuación 5:

25 = vo (vo/10) – 5 (vo/10)^2
25 = vo^2 /10 – 5 vo^2/100
25 = 5 vo^2 / 100

de aquí resulta que

vo = raíz cuadrada (500) = 22, 36

En las útlimas ecuaciones no escribí las unidades para hacer menos engorrosas las ecuaciones. De los dos valores matemáticos de la raíz cuadrada, elijo solamente el positivo ¿por qué? Porque la velocidad de lanzamiento es hacia arriba, y en el sistema de referencia elegido, “hacia arriba” es “positivo”.

¡Cuánto lío! ¿No habrá una forma más rápida de llegar a la respuesta?
Sí. Les dejo como desafío que la busquen y la expliquen en los comentarios.

NOTA BENE: un piano en caída libre… ¿será posible? ¿ustedes creen que la resistencia del aire sería realmente despreciable? Y si no lo es, ¿qué hipótesis podríamos hacer para que el enunciado no sea un disparate? (rta: EL PIANO CAE EN EL VACÍO, DE MODO QUE POR GRANDE QUE SEA, NO HAY “RESISTENCIA DEL AIRE”)

EJERCICIO 14, PÁG 19

Un cuerpo cae libremente partiendo del reposo y emplea 4 segundos en recorrer la primera mitad de su desplazamiento.

a) ¿Cuál es el desplazamiento total?

b) ¿Con qué velocidad pasa por la mitad del recorrido?

Para calcular el total del recorrido calculo primero cuánto es la mitad del recorrido. Sé que parte del reposo (v0 = 0 m/s) y que la aceleración para un cuerpo que cae libremente es la de la gravedad (g = -10 m/s^2; pues prefiero el sistema de referencia positivo hacia arriba).

El desplazamiento en un MRUV cualquiera es:

desplazamiento = vo × Δt + 1/2 a × (Δt)^2

Si uso los datos del problema y tengo en cuenta que la aceleración es g, entre los que me faltó indicar el tiempo de caída, que es 4 segundos

desplazamiento (mitad del recorrido) = 1/2 × (-10 m/s^2) × (4 seg)^2 = 80 m

¡pero ojo!!! calculé solamente “la mitad” del desplazamiento, es decir cuántos metros cayó en los primeros 4 segundos. El desplazamiento total es el doble, es decir

DESPLAZAMIENTO TOTAL: 160 m, verticalmente y hacia abajo.

Prefiero dar una respuesta independiente del sistema de referencia que elegí. Fijense que el desplazamiento calculado es negativo porque el cuerpo está cayendo, es decir: se mueve en sentido contrario al eje elegido.

Ahora queda calcular la velocidad. Aquí uso sin más trámite la ecuación horaria de la velocidad, teniendo en cuenta nuevamente que el tiempo trascurrido es 4 segundos

v = v0 + a × Δt = – 10 m/s^2 × 4 seg = -40 m/s

VELOCIDAD A MITAD DEL RECORRIDO: 40 m/s hacia abajo.

LES DEJO UN DESAFÍO: AVERIGUAR EL TIEMPO TOTAL DE CAÍDA Y LA VELOCIDAD FINAL… y por supuesto, contar cómo lo hicieron.



About these ads

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s